Lin. Alg.

Důkaz: Indukcí a sporem - nechť x₁ ... x_k dávají nejmenší protipříklad. ∃ netriviální a₁ ... a_k ∈: a₁x₁ + ... + a_kx_k = 0.

0 = f(0) = f(∑^k_{i = 1} a_ix_i = ∑^k_{i = 1} a_iλ_ix_i.

0 = λ_k* 0 = λ_k(∑^k_i=1a_ix_i).

0 = 0 - 0 = ∑^k_{i = 1}a_iλ_ix_i - ∑^k_i=1a_iλ_kx_i = ∑^k_i=1a_i(λ_i - λ_k)x_i = ∑^k-1_i=1a_i(λ_i - λ_k)x_i.

spor: (λ_i různé - rozdíly nenulové; a_i nenulové, x_i LN.) buď jsou vektory LZ, nebo x_k = 0 - v obou případech spor.

důsledek: matice řádu n mají nejvýše n různých vlastních čísel (v prostoru Tⁿ může být max. n LN vektorů.)

Důkaz: A = R^-1BR → B = RAR^-1

B⋅y = B(Rx) = RAR^-1Rx = R(Ax) = R(λx) = λ(Rx) = λy.

Důkaz: λ₁ ... λ_n - různá vl. čísla, k nim přísluší n lin. nezáv. vl. vektorů x₁ ... x_k. Z nich mohu sestavit matici R (regulární) (vektory dám do sloupců).

Pro každé i: Ax_i = λ_ix_i.

Pro matici: A⋅R - matice kde i-tý sloupec = λ_ix_i.

Z toho: AR = RD, kde D je diag. matice s λ_i na diagonále. (násobíme D zprava - násobí se sloupce). ↠ R^-1AR = R^-1RD = D, proto A je diagonalizovatelná.

Důkaz: "=>": A diagonalizovatelná - ∃ R, t.ž. R^-1AR = D, což je to samé jako AR = RD ... sloupce matice R tvoří vlastní vektory. R regulární => vektory jsou LN.

"<=": Z vlastních vektorů sestavím matici R, pro ní už platí, že R^-1AR = D.

Důkaz: λ je vl. č. a <=> ∃x ≠ 0 t.ž. Ax = λx. <=> ex. x ≠ 0, t.ž. Ax - λx = 0., (A - λI)x = 0 - ex. netriviální řešení <=> matice (A - &lamba;I) je singulární <=> det(A - λI) = 0 <=> jestliže P_A^(t) = 0, když t = λ, pak λ je kořenem tohoto polynomu.

Důkaz: A = R^-1BR. P_A^(t) = det(A - tI) = det(R^-1BR - t⋅I) = det(R^-1BR - tR^-1IR) = det(R^-1)⋅ det(B - t⋅I)⋅det(R) = det(B - t⋅I).

Důkaz: Uvažujeme součin matic:

1.

(

AB 0

B 0

)

(

I A

0 I

)

=

(

AB ABA

B BA

)

2.

(

I A

0 I

)

(

0 0

B BA

)

=

(

AB ABA

B BA

)

(

I A

0 I

)

je regulární, determinant = 1.

(

0 0

B BA

) =

(

I A

0 I

)

(

AB 0

B 0

)

(

I A

0 I

)

-1
.

=> matice jsou podobné, mají stejná vlastní čísla.

Důkaz: Využijeme faktu: M⋅adj(M) = det(M)⋅I. Dosadím za M:= A - t⋅I. adj(A - t⋅I) - každý prvek je polynom stupně nejvýše n-1 v proměnné t (z def. adj(M)).

adj(A - t⋅I) = t^n-1B_n-1 + ... + tB₁ + B₀ (kde B_i jsou matice z tělesa T, obs. všechny koeficienty tⁱ u všech členů adj(A - t⋅I).

adj(A - t⋅I)⋅(t^n-1B_n-1 + ... + tB₁ + B₀) = P_A(t)⋅I. (dosazení do vztahu viz výše).

P_A(t)⋅I = (-1)ⁿtⁿI + a_n-1t^n-1I + ... + a₁t I + a₀I.

Rovnost součtů matic = koeficienty musí být stejné:
tⁿ: -B_n-1 = (-1)ⁿ⋅I.
tⁱ, 1 ≤ i < n: AB_i - B_i-1 = a_iI.
t⁰: AB₀ = a₀I.
-tyto rovnice musí platit všechny najednou, vynásobím zleva Aⁱ a sečtu.
L = AⁿB_n-1 + A^n-1(AB_n-1 - B_n-2) + ... + A (AB₁ - B₀) + AB₀ = (pokrátí se) = 0.
P = (-1)ⁿAⁿ + a_n-1A^n-1+ ... + a₁A + a₀I.
L = P => P = 0

důsledek: Každý mnohočlen p(t) stupně ≥ 1 nad C lze rozložit na součin "monomů" (jednoduchých polynomů): p(t) = a_n⋅(t - λ₁) ... (t - λ_n), kde λ₁ ... λ_n jsou kořeny p(t).

p(t)
------
t - λ_i

- musí být nutně polynom stupně (n - 1), protože λ je kořen p(t), jehož existenci udává Z.V.A.

idea důkazu: p(t) = a_ntⁿ + a_n-1t^n-1 + ... + a₁t + a₀. BÚNO předp., že a_n ≠ 0, a₀ ≠ 0. Jak se p(t) chová, jestliže a) |t| → ∞ (p(t) ≈ a_ntⁿ), b) |t| → 0. (p(t) ≈a₁t + a₀).
Jak graficky vypadá komplexní kružnice o poloměru r (množina D_r := {t; |t| = r}):
a) a_ntⁿ Velká kružnice n-krát kolem počátku. Nižší stupně způsobí zanedbatelné vychýlení kružnice.
b) Malá kružnice okolo a⁰.
Uvažuji, že spojitě měním |t| od ∞ k 0 => spojitě přecházím od a) k b). U 1. kružnice je 0 uvnitř, u 2. vně => při spojitém přechodu jsem 0 musel zasáhnout.
(Intuitivní důkaz, formálně lze těžko).

důsledek: Nechť A je komplexní čtvercová matice řádu n. Potom lze psát: P_A(t) = (λ₁ - t)^r₁ (λ₂ - t)^r₂ ... (λ_k - t)^r_k, kde λ₁ ... λ_k jsou různá vlastní čísla, r_i je algebraická násobnost vlastního čísla a platí, že r₁ + ... + r_k = n.

(i) a₀ = det(A) = λ₁^r₁ λ₂^r₂ ... λ_k^r_k.

- dosazením t = 0 do P_A(t) dostaneme P_A(t) = λ₁^r₁ ... λ_k^r_k = det( A - 0⋅I).

(ii)

a_n = (-1)ⁿ
a_n-1 = (-1)ⁿ(r₁λ₁ + ... + r_nλ_n)
a_n-1 = (-1)ⁿ((A)₁₁ + (A)₂₂ + ... (A)_nn ) - součet prvků na diagonále matice A.

- 2. rovnost plyne z rozvoje char. polynomu určením koef. u t^n-1.
- 3. rovnost - P_A(t) = det(A- tI) - všechny permutace až na 1 dávají polynomy stupně nejvýše (n-2) - když se vyhnou diagonále jednou, musí i podruhé. Jedině permutace která projde prvky na diagonále, dá polynom stupně (n-1), koeficient se určí stejně jako u 2. ner.

Diagonalizovatelné matice, hermitovské matice

Věta(17): Čtvercová komplexní matice A je diagonalizovatelná <=> ∀λ_i platí: rank(A - λ_iI) = n - r_i.

Důkaz: Využijeme větu, že A je diagonalizovatelná <=> ∃ báze Cⁿ, složená z vlastních vektorů <=> toto nastane jen tehdy, můžeme-li tuto bázi rozložit na k bází prostoru Ker(A - λ_iI) (každá s dimenzí r_i) <=> má-li jádro hodnost r_i, pak (A - λ_iI) má hodnost (n - r_i).

fakt: Každá komplexní čtvercová matice A je podobná matici v násl. tvaru:

λ1 1 0 ... ... ... ... 0
1 λ1 1 0 .. ... ... ..0
0 1 λ1 0 0 ... ... ..0
0 0 0 λ2 1 ... ... ..0
  .                .
  .                .
  .                .
  .                .
0 ... ... ... ... .. 1 λk

(λ₁, ..., λ_k nemusí být nutně různá.)

Bez důkazu.

Nechť A je komplexní matice, potom matici A^H, pro kterou platí, že (A^H)_ij = a_ji (kompl. sdruž. číslo), nazýváme hermitovskou transpozicí matice A. (někdy se používá název "konjugovaná matice").

(AB)^H = B^HA^H (důkaz stejný jako pro obyčejnou transpozici).

Pro standardní skalární součin na Cⁿ platí: < x, y > = ∑_i=1ⁿ x_iy_i = y^H⋅x (maticové nás. vektorů).

Prostor nad C konečné dimenze je izomorfní k Cⁿ. Vezmu ortonormální bázi vůči std. skal. součinu - u₁, ... u_n a vytvořím čtvercovou matici A = (u₁|u₂| ... |u_n), potom A^HA = I. (Řádky A^H ⋅ sloupce A - std. skal. součin < u_i, u_j> => je-li i=j, součin = 1, jinak = 0 (ortonormální vektory) ).

Komplexní čtvercová matice se nazývá unitární, pokud platí, že A^HA = I.

Komplexní čtvercová matice se nazývá hermitovská, pokud A^H = A.

Věta(18): Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná ( i když je sama komplexní). Navíc existuje unitární matice R taková, že R ^-1AR je diagonální. (tzn. hermitovská matice je diagonalizovatelná).

Důkaz: indukcí podle řádu matice:
(1): pro řád 1 platí (musí být 1 reálné číslo - je už diagonální).
(n): ind. krok: A_n; pro 1 ... (n-1) platí.
- podle zákl. věty algebry ex. vl. číslo λ a přísl. netriviální vl. vektor x ∈ Cⁿ. Podle Steinitzovy věty o výměně doplním x na ortonormální bázi prostoru Cⁿ. (BÚNO předp. že ||x|| = 1). Z těchto vektorů sestavím pomocnou matici P_n řádu n (v 1. sloupci - x). Báze ortonormální, ∀ 2 vekt. na sebe kolmé => P_n unitární, P_n^H P_n = I.
Platí: (P_n^HA_nP_n)^H = P_n^HA_n^H(P_n^H)^H = P_n^HA_nP_n → matice P_n^HA_nP_n je hermitovská.
(A_nP_n) - první sloupec je λ-násobek vektoru x (protože λ je vl. číslo matice A_n), po vynásobení zleva P_n^H navíc:

λ 0 ... 0
0
. A_n-1
.
0

- protože je P_n^HA_nP_n hermitovská.
- λ na diagonále => musí být rovna svému kompl. sdruž. číslu => λ∈ R
Z ind. předp. ex. unitární R_n-1: R_n-1^-1A_n-1R_n-1 = D_n-1. Vezmu R_n= P_n⋅S, kde

S =

1 0 ... 0
0
. R_n-1
.
0

- tato matice je unitární & P_n taky => R_n je unitární (rozepsat součin).
-Zbývá ověřit, že R_n je hledaná matice: R_n^HA_nR_n = (P_nS)^HAP_nS = S^H P_n^HAP_n S =

1 0 ... 0
0
. R_n-1^H
.
0

⋅

λ 0 ... 0
0
. A_n-1
.
0

⋅

1 0 ... 0
0
. R_n-1
.
0

=

λ 0 ... 0
0
. D_n-1
.
0

= D_n.

důsledek: (interpretace v R): Pro každou symetrickou matici A platí, že všechna její vl. čísla jsou reálná a navíc existuje ortogonální matice R: R^-1AR je diagonální.
příslušný vl. vektor x lze vzít reálný, protože (A - λI)x = 0 ... soustava lin. rovnic s reálnou singulární maticí .... musí mít netriviální reálné řešení. Zbytek důkazu stejný, jen místo A^H je A^T.

Hermitovské matice a skalární součin

Pozorování: Nechť V je vekt. prostor konečné dimenze se skalárním součinem a X = {x₁, ...,x_n} je jeho ortonormální báze. Potom ∀u,v ∈ V platí: < u,v > = ∑ _i=1ⁿ< u,x_i >< x_i,v > = [v]_X^H⋅ [u]_X. (souřadnice vůči bázi X) → tedy: počítání skal. součinu lze zjednodušit na počítání v C.

Důkaz:
u = ∑_i=1ⁿ α_ix_i, kde α_i = < u,x_i> = ([u]_X)_i
v = ∑_i=1ⁿ β_ix_i, kde β_i = < v,x_i> = ([v]_X)_i.
β_i = < x_i,v >
< u,v > = < ∑α_ix_i,∑β_jx_j > = ∑_i=1ⁿ∑_j=1ⁿ α_iβ_j⋅< x_i,x_j > .
x_i - ortonormální báze: < x_i,x_j > = 1, pokud i = j, 0 jinak.
Proto: < u,v > = ∑_i=1ⁿ α_iβ_i = < u,x_i >< x_i,v > = [v]_X^H[u]_X.

Věta(19): Nechť V je vekt. prostor se skal. součinem konečné dimenze a X = {x₁, ... , x_n } jeho ortonormální báze. Nechť dále f: V → V je lin. zobrazení. Potom platí, že f zachovává skalární součin (tj. < u,v > = < f(u),f(v) > ) <=> matice zobrazení [f]_XX je unitární.

Důkaz: vím že < u,v > = [v]_X^H[u]_X.
< f(u),f(v) > = [f(v)]_X_H[f(u)[_X = ([f]_XX[v]_X)^H [f]_XX[u]_X =
= [v]_X_H[u]_X, právě když [f]_XX^H [f]_XX = I <=> matice [f]_XX je unitární.

Vlastní čísla

Vlastnosti vlastních čísel matic

Charakteristický mnohočlen

Diagonalizovatelné matice, hermitovské matice

Hermitovské matice a skalární součin